Conformal Geodesics in Cartan Calculus

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt konforme Geodäten und ihre Beschreibung durch Cartangeometrie.

Wir besprechen die Definition der Cartangeometrie und erklären, in welchem Sinne konforme Strukturen in 1:1-Beziehung mit Cartangeometrien vom Typ (G, P) sind, wobei G = O(p+1, q+1) and P = Stab(R^+·l−) in O(p+1, q+1). Wir zeigen dies durch eine explizite Konstruktion des standard Tractorbündels, das zur konformen Cartangeometrie assoziiert ist. Diese Resultate sind nicht neu, allerdings benutzen die Beweise in der Literatur andere Beweistechniken.

Im Folgenden besprechen wir die Konzepte der kanonischen Kurven und konformen Geodäten. Der Hauptquelle folgend geben wir verschiedene Charakterisierungen von kanonischen Kurven und zeigen, dass sie im |1|-graduierten Fall durch ihren 2-jet festgelegt sind, indem wir Rechnungen ausführen, die in der Literatur skizziert sind. Wir fassen dann wichtige Eigenschaften von konformen Geodäten zusammen, und präsentieren insbesondere die Details eines Beweises, der in der Literatur skizziert ist, für den Fakt, dass konforme Geodäten genau die Kurven sind, die lokal geodätisch sind und entlang derer der Schouten Tensor verschwindet bezüglich einer Metrik in der konformen Klasse.

Anschließend beweisen wir das Hauptresultat der Arbeit: Konforme Geodäten sind genau die kanonischen Kurven der assoziierten Cartangeometrie. Wir geben einen Beweis für diesen Fakt durch Analysis auf dem Tractorbündel.

Wir geben auch einen Beweis, dass konforme Einbettungen genau die Cartaneinbettungen für die assoziierte Cartangeometrie sind, wieder durch Analysis auf dem Tractorbündel. Wir beobachten einige Eigenschaften von geometrischen Rändern von geometrischen Einbettungen. Schlussendlich benutzen wir konforme Geodäten, um zu zeigen, dass der Euklidische Raum mit Euklidischer Metrik genau eine konforme Kompaktifizierung hat, indem wir die Details eines zuvor veröffentlichten Beweises ausarbeiten.

The present work deals with conformal geodesics and their description using Cartan calculus.

We recall the definition of Cartan geometry and explain how conformal structures are in 1-to-1-correspondence with Cartan geometries of type (G, P) with G = O(p+1, q+1) and P = Stab(R^+·l−) in O(p+1, q+1). This is done using an explicit construction of the standard Tractor bundle associated to the conformal Cartan geometry. While the results are not new, existing proofs use different methods and the calculations using the Tractor bundle have not been published before.

We then review the concepts of canonical curves and conformal geodesics. Following the main reference, we give different characterizations of canonical curves and show that they are determined by their 2-jet in the |1|-graded case, carrying out the calculations for proofs sketched in the literature. We then summarize important properties of conformal geodesics and in particular present the details of one proof sketched in the literature to show that conformal geodesics are precisely those curves which are locally geodesic and have vanishing Schouten tensor with respect to a metric in the conformal class.

Following this, we prove the main result, that the conformal geodesics of the conformal structure are exactly the canonical curves of the associated Cartan geometry. We give a new proof for this fact using Tractor calculus.

We also give a proof that conformal embeddings are exactly Cartan embeddings for the associated Cartan geometries, again using Tractor calculus. While this fact certainly served as a motivation to study Cartan geometric embeddings, we are not aware of an actual proof in the literature so far. We observe some properties of geometric boundaries of geometric embeddings. Eventually, we use conformal geodesics to show that the Euclidean space with the standard Euclidean metric has a unique conformal compactification, working out the details of a proof previously given in the literature.