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2021-01-29Dissertation DOI: 10.18452/22350
Adaptive least-squares finite element method with optimal convergence rates
dc.contributor.authorBringmann, Philipp
dc.date.accessioned2021-01-29T09:37:33Z
dc.date.available2021-01-29T09:37:33Z
dc.date.issued2021-01-29none
dc.identifier.urihttp://edoc.hu-berlin.de/18452/23027
dc.description.abstractDie Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten.ger
dc.description.abstractThe least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution. This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.eng
dc.language.isoengnone
dc.publisherHumboldt-Universität zu Berlin
dc.relation.haspart10.18452/22346
dc.rights(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internationalger
dc.rights.urihttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
dc.subjectadaptive Netzverfeinerungger
dc.subjectAdaptivitätger
dc.subjectAFEMger
dc.subjectalternativer a posteriori Fehlerschätzerger
dc.subjectinhomogene Dirichlet-Randbedingungenger
dc.subjectdiskrete Zuverlässigkeitger
dc.subjectelliptische partielle Differentialgleichungenger
dc.subjectexpliziter residuenbasierter Fehlerschätzerger
dc.subjectFEMger
dc.subjectFinite Elemente Methodenger
dc.subjectLeast-Squares Finite Elemente Methodeger
dc.subjectlineare Elastizitätger
dc.subjectLSFEMger
dc.subjectinhomogene Neumann-Randbedingungenger
dc.subjectPoisson-Modellproblemger
dc.subjectQuasi-Interpolationger
dc.subjectRanddatenapproximationger
dc.subjectsepariertes Markierenger
dc.subjectStokes-Gleichungenger
dc.subjectRanddatenapproximationger
dc.subjectadaptive mesh-refinementeng
dc.subjectadaptivityeng
dc.subjectAFEMeng
dc.subjectalternative a posteriori error estimatoreng
dc.subjectinhomogeneous Dirichlet boundary conditionseng
dc.subjectdiscrete reliabilityeng
dc.subjectelliptic partial differential equationseng
dc.subjectexplicit residual-based error estimatoreng
dc.subjectFEMeng
dc.subjectfinite element methodeng
dc.subjectleast-squares finite element methodeng
dc.subjectlinear elasticityeng
dc.subjectLSFEMeng
dc.subjectinhomogeneous Neumann boundary conditionseng
dc.subjectPoisson model problemeng
dc.subjectquasi-interpolationeng
dc.subjectseparate markingeng
dc.subjectStokes equationseng
dc.subjectboundary data approximationeng
dc.subject.ddc518 Numerische Analysisnone
dc.titleAdaptive least-squares finite element method with optimal convergence ratesnone
dc.typedoctoralThesis
dc.identifier.urnurn:nbn:de:kobv:11-110-18452/23027-9
dc.identifier.doihttp://dx.doi.org/10.18452/22350
dc.date.accepted2020-01-31
dc.contributor.refereeCarstensen, Carsten
dc.contributor.refereePark, Eun-Jae
dc.contributor.refereeStarke, Gerhard
local.edoc.pages137none
local.edoc.anmerkungThis work was supported by the Deutsche Forschungsgemeinschaft in the Priority Program 1748 ‚Reliable simulation techniques in solid mechanics. Development of non-standard discretization methods, mechanical and mathematical analysis’ under the project ‚Foundation and application of generalized mixed FEM towards nonlinear problems in solid mechanics‘.none
local.edoc.type-nameDissertation
local.edoc.institutionMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultätnone

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