Multivariable (φ,Γ)-modules and representations of products of Galois groups

Abstract

Für eine Primzahl p, sei L eine endliche Erweiterung von $QQ_p$ mit Ganzheitsring $O_L$ und Restklassenk\"{o}rper $kk_L$. Sei ferner n eine positive ganze Zahl. In dieser Arbeit beschreiben wir die Kategorie der endlich erzeugten stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz der absoluten Galoisgruppe $G_L$ von L mit Koeffizienten in $O_L$, unter Verwendung einer verallgemeinerten Version der $(phi, Gamma)$-Moduln von Fontaine.

In Kapitel 4 beweisen wir, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlichen dimensionalen $kk_L$-Vektorräumen und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $kk_L$ äquivalent sind. In Kapitel 5 erweitern wir diese Äquivalenz, um zu beweisen, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlich erzeugten $O_L$-Moduln und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $O_L$ äquivalent sind.

Einerseits erhalten wir, wenn wir n=1 und L willkürlich lassen, die Verfeinerung von Fontaine ursprünglicher Konstruktion gemäß Kisin, Rin und Schneider, die Lubin-Tate Theorie verwenden. Wenn wir andererseits n willkürlich lassen und $L=QQ_p$, erhalten wir die Theorie von Zábrádi von multivariablen zyklotomischen $(phi, Gamma)$-Moduln, die Fontaines Verwendung einer einzelnen freien Variablen verallgemeinert. Daher bietet unsere Arbeit einen gemeinsamen Rahmen für diese beiden Verallgemeinerungen.

For a prime number p, let L be a finite extension of $QQ_p$ with ring of integers $O_L$ and residue field $kk_L$. We also let n be a positive integer. In this thesis we describe the category of finitely generated continuous representations of the n-th direct power of the absolute Galois group $G_L$ of L with coefficients in $O_L$ using a generalized version of Fontaine's $(phi, Gamma)$-modules.

In Chapter 4 we prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finite dimensional $kk_L$-vector spaces is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $kk_L$. In Chapter 5 we extend this equivalence to prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finitely generated $O_L$-modules is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $O_L$.

On the one hand, if we let n=1 and $L$ be arbitrary, we obtain the refinement of Fontaine's original construction due to Kisin, Rin and Schneider, which uses Lubin-Tate theory. On the other hand, if we let n be arbitrary and $L=QQ_p$, we recover Zábrádi's theory of multivariable cyclotomic $(phi,Gamma)$-modules that generalizes Fontaine's use of a single free variable. Therefore, our thesis provides a common framework for both of these generalizations.