Ground States through Variational Optimization using Matrix Product States: a comparison between open and periodic boundary conditions

Abstract

Matrixproduktzustände können Grundzustände effizient approximieren. Basierend auf dem Matrix-Produkt-Formalismus verwenden wir Methoden der Variationsoptimierung zur Berechnung der Grundzustandsenergien des kritischen Spin-1/2 Heisenberg- und des transversalen Spin-1/2 Ising-Modells in einer Raumdimension. Wir vergleichen offene Randbedingungen (obc) mit periodischen Randbedingungen (pbc). Im Falle von pbc testen wir verschiedene Methoden zur Verbesserung der Konditionierung der Norm-Matrix, die im verallgemeinerten Eigenwertproblem Problem auftritt. Wir finden, dass eine kanonische Form und die Pseudo-Invertierung der Norm die effektivsten Stabilisierungstechniken sind. Durch eine Komprimierung der Transfermatrizen wird für pbc eine zu obc konkurrenzfähige Laufzeit erreicht. Die Energiedichten mit pbc konvergieren schneller in der internen Matrix-Produkt Dimension und sind schon bei kleinen Systemgrößen sehr nahe am thermodynamischen Limit. Bei obc muss das Limit unendlich großer Systeme durch Extrapolation in der Systemgröße berechnet werden. Bei vergleichbaren Laufzeiten ist pbc daher obc bei der Untersuchung des thermodynamischen Limits überlegen.

Matrix Product States can efficiently approximate ground states. Based on the Matrix Product formalism we use variational optimization methods to calculate ground state energies of the spin-1/2 critical Heisenberg and the spin-1/2 transverse Ising model in one spatial dimension. We compare open boundary conditions (obc) to periodic boundary conditions (pbc). In case of pbc we test several methods to improve the conditioning of the norm matrix arising in the Generalized Eigenvalue Problem. We find the central gauge and pseudo inverting of the norm to be the most effective stabilization techniques. A compression of transfer matrices makes pbc competitive in runtime to obc. The energy densities with pbc converge faster in the bond dimension and are very close to the thermodynamic limit at small system sizes already. With obc, the infinite volume limit is only accurately resembled by extrapolation in the system size. At comparable runtimes this makes pbc superior to obc when it comes to studying the thermodynamic limit.