Elastic Full Procrustes Means for Sparse and Irregular Planar Curves

Abstract

In dieser Arbeit wird eine Methode für die Schätzung von elastischen Formmittelwerten von offenen und planaren Kurven vorgestellt. Dazu wurden die Konzepte des full Procrustes Mittelwerts für Landmark Konfigurationen mit dem square-root-velocity Framework für die elastische Analyse von Funktionen kombiniert, um elastische full Procrustes Mittelwerte zu berechnen. Die Schätzung dieses Mittelwerts hängt eng mit der komplexen Kovarianzoberfläche der beobachteten Kurven zusammen, welche durch Berücksichtigung ihrer Symmetrieeigenschaften effizient geschätzt werden kann (siehe Cederbaum, Scheipl und Greven 2018). In Kombination mit den Methoden für elastische Mittelwertberechnung in Steyer, Stöcker und Greven 2021 ist dieser Ansatz besonders passend Kurven mit nur wenigen, unregelmäßig verteilten Beobachtungspunkten. Die vorgestellte Methode und ihre Implementierung wurde auf zwei Testdatensätzen überprüft. Über den in der Schätzung verwendeten Strafparameter (penalty) kann die Glätte des Mittelwerts kontrolliert werden, wobei eine penalty erster oder zweiter Ordnung auch in Bereichen mit wenig Beobachtungen zu stabilen Schätzungen führt. Die Beobachtungen können über ihre elastischen full Procrustes Fits gemeinsam mit dem Mittelwert visualisiert werde, wobei der geschätzte Mittelwert aber nicht als ein naiver funktionaler Mittelwert der Fits interpretiert werden kann. Außerdem ist der elastische full Procrustes Mittelwert robust gegenüber Ausreißern, da diese tendenziell so skaliert werden, das ihr Einfluss auf die Schätzung eingeschränkt wird. Die Methode wurde benutzt um die Variabilität von Zungenkonturen bei der Artikulation von Konsonanten zu analysieren. Hierbei scheint der Vokalkontext den größten Effekt auf die Zungenkontur zu haben, während der Einfluss des ausgesprochen Konsonanten zwischen den Sprechern unterscheidet.

This thesis proposes a method for elastic shape mean estimation of open planar curves. It combines the concept of the full Procrustes mean with the square-root-velocity framework to estimate elastic full Procrustes means. This mean can be shown to be related to an eigenfunction problem over the complex covariance surface of the observed curves, which can be estimated efficiently by accounting for its symmetry (Cederbaum, Scheipl and Greven 2018). These methods, in combination with the methods for elastic mean estimation in Steyer, Stöcker and Greven 2021, make the proposed estimation procedure especially suitable to sparse and irregular observations. The method and its implementation were validated over toy datasets, where it was shown that the estimated shape mean is elastic and invariant with respect to shape preserving transformations of the input curves. The penalty used in the estimation provides stable estimates in regions where observations are sparse and consistently good results were achieved for first and second order penalties. The estimated mean may be plotted together with the elastic full Procrustes fits, however, care has to be taken when interpreting these plots, as the estimated mean curve is not a simple functional mean of the aligned curves. Furthermore, the elastic full Procrustes mean is quite robust to outliers, as they tend to get shrunk towards zero, restricting their influence on the mean estimation. Finally, the method was used to analyse variability in an empirical dataset of tongue contours during consonant articulation. Here it was found that the vowel context has the largest influence on the tongues shape, while the effect of the spoken consonant seems to vary between speakers.