Effects of Repulsive Coupling in Ensembles of Excitable Elements

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt die kollektive Dynamik identischer Klasse-I-anregbarer Elemente. Diese können im Rahmen der nichtlinearen Dynamik als Systeme nahe einer Sattel-Knoten-Bifurkation auf einem invarianten Kreis beschrieben werden. Der Fokus der Arbeit liegt auf dem Studium aktiver Rotatoren als Prototypen solcher Elemente.

In Teil eins der Arbeit besprechen wir das klassische Modell abstoßend gekoppelter aktiver Rotatoren von Shinomoto und Kuramoto und generalisieren es indem wir höhere Fourier-Moden in der internen Dynamik der Rotatoren berücksichtigen. Wir besprechen außerdem die mathematischen Methoden die wir zur Untersuchung des Aktive-Rotatoren-Modells verwenden.

In Teil zwei untersuchen wir Existenz und Stabilität periodischer Zwei-Cluster-Lösungen für generalisierte aktive Rotatoren und beweisen anschließend die Existenz eines Kontinuums periodischer Lösungen für eine Klasse Watanabe-Strogatz-integrabler Systeme zu denen insbesondere das klassische Aktive-Rotatoren-Modell gehört und zeigen dass (i) das Kontinuum eine normal-anziehende invariante Mannigfaltigkeit bildet und (ii) eine der auftretenden periodischen Lösungen Splay-State-Dynamik besitzt. Danach entwickeln wir mit Hilfe der Averaging-Methode eine Störungstheorie für solche Systeme. Mit dieser können wir Rückschlüsse auf die asymptotische Dynamik des generalisierten Aktive-Rotatoren-Modells ziehen. Als Hauptergebnis stellen wir fest dass sowohl periodische Zwei-Cluster-Lösungen als auch Splay States robuste Lösungen für das Aktive-Rotatoren-Modell darstellen. Wir untersuchen außerdem einen "Stabilitätstransfer" zwischen diesen Lösungen durch sogenannte Broken-Symmetry States.

In Teil drei untersuchen wir Ensembles gekoppelter Morris-Lecar-Neuronen und stellen fest, dass deren asymptotische Dynamik der der aktiven Rotatoren vergleichbar ist was nahelegt dass die Ergebnisse aus Teil zwei ein qualitatives Bild für solch kompliziertere und realistischere Neuronenmodelle liefern.

We study the collective dynamics of class I excitable elements, which can be described within the theory of nonlinear dynamics as systems close to a saddle-node bifurcation on an invariant circle. The focus of the thesis lies on the study of active rotators as a prototype for such elements.

In part one of the thesis, we motivate the classic model of repulsively coupled active rotators by Shinomoto and Kuramoto and generalize it by considering higher-order Fourier modes in the on-site dynamics of the rotators. We also discuss the mathematical methods which our work relies on, in particular the concept of Watanabe-Strogatz (WS) integrability which allows to describe systems of identical angular variables in terms of Möbius transformations.

In part two, we investigate the existence and stability of periodic two-cluster states for generalized active rotators and prove the existence of a continuum of periodic orbits for a class of WS-integrable systems which includes, in particular, the classic active rotator model. We show that (i) this continuum constitutes a normally attracting invariant manifold and that (ii) one of the solutions yields splay state dynamics. We then develop a perturbation theory for such systems, based on the averaging method. By this approach, we can deduce the asymptotic dynamics of the generalized active rotator model. As a main result, we find that periodic two-cluster states and splay states are robust periodic solutions for systems of identical active rotators. We also investigate a 'transfer of stability' between these solutions by means of so-called broken-symmetry states.

In part three, we study ensembles of higher-dimensional class I excitable elements in the form of Morris-Lecar neurons and find the asymptotic dynamics of such systems to be similar to those of active rotators, which suggests that our results from part two yield a suitable qualitative description for more complicated and realistic neural models.