Arithmetic aspects of period maps and their special subvarieties

Abstract

Diese Dissertation behandelt arithmetische Eigenschaften von Familien algebraischer Varietäten und deren speziellen Untervarietäten. Im ersten Kapitel definieren wir sogenannte absolut spezielle Untervarietäten mithilfe von Delignes Begriff der absoluten Hodgeklassen. Ausgehend von der Vermutung, dass alle Hodgeklassen absolute Hodgeklassen sind, erwarten wir, dass alle speziellen Untervarietäten absolut speziell sind. Wir beweisen diese Erwartung für Untervarietäten, die eine bestimmte Monodromiebedingung erfüllen. Das zweite Kapitel führt eine l-adische Version von speziellen Untervarietäten ein, die wir l-Galois spezielle Untervarietäten nennen. Wir studieren bewiesene und vermutete Eigenschaften dieser Untervarietäten und deren Zusammenhang zur Struktur des l-Galois exzeptionellen Locus und zur Mumford-Tate Vermutung. Im dritten Kapitel beweisen wir eine Rapoport-Zink Uniformisierung für den Modulraum der primitiv polarisierten K3 Flächen und kubischen Vierfaltigkeiten mit supersingulärer Reduktion. In beiden Fällen ist der Modulraum uniformisiert von einer explizit definierten rigid analytischen Untervarietät einer lokalen Shimura-Varietät von orthogonalem Typ.

This thesis studies arithmetic aspects of families of algebraic varieties and their special subvarieties. In the first part, we use Deligne's framework of absolute Hodge classes to define a notion of absolutely special subvarieties. The conjecture that all Hodge classes are absolute Hodge predicts that every special subvariety is absolutely special. We prove this prediction for subvarieties satisfying a certain monodromy condition. The second part introduces an l-adic analog of special subvarieties that we call l-Galois special subvarieties. We study the properties of these subvarieties and discuss how known and unknown properties of l-Galois special subvarieties are related to the structure of the l-Galois exceptional locus and to the Mumford-Tate conjecture. In the third chapter, we prove a Rapoport-Zink type uniformization result for the moduli space of polarized K3 surfaces and cubic fourfolds. We show that in both cases, the tube over the supersingular locus of the moduli space is uniformized by an explicitly described rigid analytic open subvariety of a local Shimura variety of orthogonal type.