A mathematical study of the Darwin-Howie-Whelan equations for Transmission Electron Microscopy

Abstract

Diese Arbeit liefert einen Beitrag zur mathematischen Untersuchung der Darwin-Howie-Whelan (DHW) Gleichungen. Sie werden üblicherweise zur Beschreibung und Simulation der Diffraktion schneller Elektronen in der Transmissionselektronenmikroskopie (TEM) verwendet. Sie bilden ein System aus Gleichungen für unendlich viele Enveloppenfunktionen, das aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden kann. Allerdings wird für Simulation von TEM Bildern nur ein endlicher Satz von Enveloppenfunktionen verwendet, was zu einem System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in Richtung der Dicke der Probe führt. Bis jetzt gibt es keine systematische Analyse zur Genauigkeit dieser Näherungen in Abhängigkeit von der Auswahl der verwendeten endlichen Sätze von Enveloppenfunktionen. Diese Frage wird hier untersucht, indem die mathematische Struktur des Systems analysiert wird und Fehlerabschätzungen zur Bewertung der Genauigkeit spezieller Näherungen hergeleitet werden, wie der Zweistrahl-Approximation oder der sogennanten systematischen Reihe. Anschließend wird ein mathematisches Modell und eine Toolchain für die numerische Simulation von TEM-Bildern von Halbleiter-Quantenpunkten entwickelt. Es wird eine Simulationsstudie an Indium-Gallium-Arsenid-Quantenpunkten mit unterschiedlicher Geometrie durchgeführt und die resultierenden TEM Bilder werden mit experimentellen Bildern verglichen. Schließlich werden die in TEM Bildern beobachteten Symmetrien im Hinblick auf die DHW Gleichungen untersucht. Dazu werden mathematische Resultate formuliert und bewiesen, die zeigen dass die Intensitäten der Lösungen der DHW Gleichungen unter bestimmten Transformationen invariant sind. Durch die Kombination dieser Invarianten mit spezifischen Eigenschaften des Deformationsfeldes können dann die in TEM Bildern beobachteten Symmetrien erklärt werden. Die Ergebnisse werden anhand ausgewählter Beispiele aus dem Bereich der Halbleiter-Nanostrukturen wie Quantensichten und Quantenpunkte demonstriert.

In this thesis a mathematical study on the Darwin--Howie--Whelan (DHW) equations is provided. The equations are commonly used to describe and simulate the scattering of fast electrons in transmission electron microscopy (TEM). They are a system for infinitely many envelope functions, derived from the Schrödinger equation. However, for the simulation of images only a finite set of envelope functions is used, leading to a finite system of ordinary differential equations in the thickness direction of the specimen. Until now, there has been no systematic discussion about the accuracy of approximations depending on the choice of the finite sets used. This question is approached here by studying the mathematical structure of the system and providing error estimates to evaluate the accuracy of special approximations, like the two-beam and the systematic-row approximation. Then a mathematical model and a toolchain for the numerical simulation of TEM images of semiconductor quantum dots (QDs) is developed. A simulation study is performed on indium gallium arsenide QDs with different shapes and the resulting TEM images are compared to experimental ones. Finally, symmetries observed in TEM images are investigated with respect to the DHW equations. Then, mathematical proofs are given showing that the intensities of the solutions of the DHW equations are invariant under specific transformations. A combination of these invariances with specific properties of the strain profile can then explain symmetries observed in TEM images. The results are demonstrated by using selected examples in the field of semiconductor nanostructures, such as quantum wells and quantum dots.