Double Field Theory as the Double Copy of Yang-Mills Theory via Homotopy Algebras

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der sogenannten Doppelkopie, welche erstmals im Rahmen von Streuamaplituden formuliert wurde und eine Beziehung zwischen Yang-Mills-Theorie und der Gravitation herstellt. Yang-Mills-Streuamplituden tragen sowohl kinematische Informationen als auch Informationen, die mit einer Eigenschaft namens Farbe verbunden sind. Die Doppelkopie besagt, dass die Ersetzung der Farbinformation in Yang-Mills-Amplituden durch eine andere Kopie ihrer kinematischen Information zu Gravitationsamplituden führt, sofern bestimmte algebraische Bedingungen erfüllt sind. Die algebraischen Bedingungen, die für die Doppelkopie erforderlich sind, deuten auf die Existenz einer Algebra hin, die der Kinematik der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegt und die kinematische Algebra genannt wird. In den letzten fünfzehn Jahren hat die Doppelkopie die Art und Weise, wie Streuungsberechnungen in der Gravitation durchgeführt werden, revolutioniert, und dennoch bleibt ein grundsätzliches Verständnis der Doppelkopie und der kinematischen Algebra schwer zu fassen. In dieser Arbeit verlassen wir den Rahmen der Streuamplituden und behandeln dieses Problem mit Hilfe von Homotopie-Algebren, den mathematischen Strukturen, die perturbativen Feldtheorien, einschließlich ihrer Off-Shell Struktur, zugrunde liegen. Insbesondere die der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegende Algebra lässt sich in algebraische Strukturen für Farbe und Kinematik faktorisieren. Unter Verwendung dieser Faktorisierung konstruieren wir explizit eine kinematische Algebra für die Yang-Mills Theorie bis zur quartischen Ordnung in der Störungstheorie. Dann ersetzen wir die Farbalgebra durch eine zweite Kopie der kinematischen Algebra und erhalten eine Gravitationstheorie bis hinzu und einschließlich der quartischen Wechselwirkungen. Außerdem erklären wir, inwiefern die kinematische Algebra die Struktur ist, die für die Konsistenz der resultierenden Gravitationstheorie verantwortlich ist. Unsere algebraische Herangehensweise an die Doppelkopie ist vollständig Off-Shell, eichunabhängig und lokal und bietet eine neue Perspektive auf die algebraischen Grundlagen und Ursprünge der Doppelkopie.

This thesis deals with a relation between Yang-Mills theory and gravity called the double copy, which was first formulated in the framework of scattering amplitudes. Yang-Mills scattering amplitudes carry kinematic information as well as information associated with a property called color. The double copy states that, provided that certain algebraic conditions are met, replacing the color information of Yang-Mills amplitudes with another copy of their kinematic information yields gravitational amplitudes. The algebraic conditions required by the double copy hint at the existence of an algebra underlying the kinematics of Yang-Mills called the kinematic algebra. In the last fifteen years, the double copy has revolutionized the way that scattering computations are performed in gravity, and, yet, a first principle understanding of the double copy and the kinematic algebra remains elusive. In this thesis we divert from scattering amplitudes and address this problem in the framework of homotopy algebras, which are the mathematical structures underlying perturbative field theories, including their off-shell structure. In particular, the algebra underlying Yang-Mills theory factorizes into color and kinematic algebraic structures. Using this factorization, we construct explicitly a kinematic algebra for Yang-Mills theory to quartic order in perturbation theory. Then, following the double copy, we replace the color algebra with a second copy of the kinematic algebra and we obtain gravity up to and including quartic interactions. Moreover, we explain how the kinematic algebra is responsible for the consistency of the resulting gravity theory. Our algebraic approach to the double copy is completely off-shell, gauge independent and local, and provides a novel perspective on the algebraic foundations and origins of the double copy.