Error reduction in density estimation under shape restrictions

Abstract

For the problems of nonparametric estimation of nonincreasing and symmetric unimodal density functions with bounded supports we determine the projections of estimates onto the convex families of possible parent densities with respect to the weighted integrated squared error. We also describe the method of approximating the analogous projections onto the respective density classes satisfying some general moment conditions. The method of projections reduces the estimation errors for all possible values of observations of a given finite sample size in a uniformly optimal way and provides estimates sharing the properties of the parent densities.

L’auteur s’intéresse au problème de l’estimation non paramétrique de fonctions de densité non croissantes ou unimodales et symétriques à support fini. Il détermine la projection d’estimateurs non paramétriques sur des familles convexes de densités de lois par rapport à l’erreur quadratique pondérée intégrée. Il décrit en outre une méthode d’approximation de projections analogues sur les classes de fonctions de densité dont les moments satisfont à certaines conditions générales. Cette technique de projection réduit de façon uniforme et optimale les erreurs d’estimation pour toutes les valeurs possibles des observations d’un échantillon fini donné, en plus de produire des estimations qui partagent certaines des caractéristiques de la famille de lois choisie.